Ensembles finis Exemples

$z = {(1 + i)}^{7}$

Étape 1

Soustrayez ${(1 + i)}^{7}$ des deux côtés de l’équation.

$z - {(1 + i)}^{7} = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$z - (1^{7} + 7 \cdot 1^{6} i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$z - (1 + 7 \cdot 1^{6} i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$z - (1 + 7 \cdot 1 i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$z - (1 + 7 i + 21 \cdot 1^{5} i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$z - (1 + 7 i + 21 \cdot 1 i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.5

Multipliez $21$ par $1$ .

$z - (1 + 7 i + 21 i^{2} + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z - (1 + 7 i + 21 \cdot - 1 + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.7

Multipliez $21$ par $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 \cdot 1^{4} i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 \cdot 1 i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.9

Multipliez $35$ par $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 i^{3} + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.10

Factorisez $i^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 (i^{2} \cdot i) + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 (- 1 \cdot i) + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.12

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$z - (1 + 7 i - 21 + 35 (- i) + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.13

Multipliez $- 1$ par $35$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 \cdot 1^{3} i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 \cdot 1 i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.15

Multipliez $35$ par $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 i^{4} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.16

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.16.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 {(i^{2})}^{2} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.16.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.16.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 \cdot 1 + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.17

Multipliez $35$ par $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 \cdot 1^{2} i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 \cdot 1 i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.19

Multipliez $21$ par $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i^{5} + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.20

Factorisez $i^{4}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 (i^{4} i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.21

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.21.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 ({(i^{2})}^{2} i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.21.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 ({(- 1)}^{2} i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.21.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 (1 i) + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.22

Multipliez $i$ par $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 \cdot 1 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.23

Multipliez $7$ par $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 i^{6} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.24

Factorisez $i^{4}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 (i^{4} i^{2}) + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.25

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.25.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.25.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.25.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 (1 i^{2}) + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.26

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 i^{2} + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.27

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i + 7 \cdot - 1 + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.28

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{7}) = 0$

Étape 2.2.29

Réécrivez $i^{7}$ comme $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.29.1

Factorisez $i^{4}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{4} i^{3}) = 0$

Étape 2.2.29.2

Factorisez $i^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{4} (i^{2} \cdot i)) = 0$

Étape 2.2.30

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.30.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + {(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i)) = 0$

Étape 2.2.30.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + {(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i)) = 0$

Étape 2.2.30.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + 1 (i^{2} \cdot i)) = 0$

Étape 2.2.31

Multipliez $i^{2} \cdot i$ par $1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 + i^{2} \cdot i) = 0$

Étape 2.2.32

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 - 1 \cdot i) = 0$

Étape 2.2.33

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$z - (1 + 7 i - 21 - 35 i + 35 + 21 i - 7 - i) = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $21$ de $1$ .

$z - (- 20 + 7 i - 35 i + 35 + 21 i - 7 - i) = 0$

Étape 2.4

Additionnez $- 20$ et $35$ .

$z - (15 + 7 i - 35 i + 21 i - 7 - i) = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $7$ de $15$ .

$z - (8 + 7 i - 35 i + 21 i - i) = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $35 i$ de $7 i$ .

$z - (8 - 28 i + 21 i - i) = 0$

Étape 2.7

Additionnez $- 28 i$ et $21 i$ .

$z - (8 - 7 i - i) = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $i$ de $- 7 i$ .

$z - (8 - 8 i) = 0$

Étape 2.9

Appliquez la propriété distributive.

$z - 1 \cdot 8 - (- 8 i) = 0$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$z - 8 - (- 8 i) = 0$

Étape 2.11

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$z - 8 + 8 i = 0$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$z + 8 i = 8$

Étape 3.2

Soustrayez $8 i$ des deux côtés de l’équation.

$z = 8 - 8 i$